cos ( - ) Consideriamo un cerchio trigonometrico. Consideriamo l'angolo nel terzo quadrante e l'angolo nel secondo quadrante tali che la loro differenza, ( - ), sia un angolo del primo quadrante. Il punto P sia il punto sulla circonferenza che corrisponde ad , Q il punto che corrisponde a e S il punto che corrisponde ad ( - ); inoltre sia A l'origine degli archi; le coordinate cartesiane di tali punti saranno: P=(cos , sen ) Q=(cos , sen ) S=( cos(-) , sen(-) ) A=( 1,0 ) L'arco PQ sara'uguale all'arco AS perche' gli angoli al centro sono entrambe uguali ad ( - ) quindi avremo che anche per le corde PQ = AS applicando la formula per la distanza fra due punti nel piano per calcolare sia PQ che AS avremo PQ = [(cos -cos )2 + (sen - sen )2] AS =( [cos (- ) - 1]2 + [sen (-) - 0] )2 il -0 potevo tralasciarlo uguaglio le due espressioni [(cos -cos )2 + (sen - sen )2] = ( [cos (- )] - 1)2 + [sen (-)] )2 Eseguiamo i calcoli: io faccio tutti i passaggi, tu puoi abbreviare tolgo le radici prima e dopo l'uguale (cos -cos )2 + (sen - sen )2 = ( [cos - ] - 1)2 + [sen -)]2 Eseguo i quadrati cos2 + cos 2 -2cos cos + sen2 + sen2 -2 sen sen = = cos2 (- ) + 1 - 2 cos (- ) + sen2 (-) Per la prima relazione fondamentale so che cos2(angolo) + sen2(angolo) = 1 , quindi 1 + 1 -2cos cos -2 sen sen = 1 + 1 - 2 cos (- ) gli 1 si eliminano essendo di segno uguale da parti opposte dell'uguale -2 cos cos -2 sen sen = - 2 cos (- ) sposto i termini dalla parte dell'uguale dove sono positivi 2 cos (- ) = 2 cos cos + 2 sen sen divido tutto per 2 ed ottengo la prima formula cos (- ) = cos cos + sen sen La dimostrazione e' piuttosto pesante, pero' e' l'unica forma che si basa su una dimostrazione geometrica: le altre dimostrazioni saranno tutte algebriche e molto piu' semplici