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Consideriamo in nero un sistema di coordinate in cui il punto P abbia coordinate (che chiameremo vecchie coordinate) P = (x,y) Consideriamo poi in rosso un altro sistema di coordinate in cui il punto P sara' individuato da (nuove coordinate) P = (X,Y) 
Sappiamo inoltre che i nuovi assi
sono ruotati attorno all'origine rispetto ai vecchi assi dell'angolo  Allora osserva la figura: dobbiamo trovare il segmento OH (x) utilizzando le nuove coordinate X e Y calcoleremo OH come differenza fra OA ed AH Considerando il triangolo OAR per i teoremi sui triangoli rettangoli in trigonometria abbiamo OA = OR cos =
X cos Ora considero il triangolo PBR essendo BR = HA; l'angolo BPR vale 
per i teoremi sui triangoli rettangoli in trigonometria abbiamo AH = BR = PR sen =
Y sen quindi abbiamo OH = OA - AH = X cos
-
Y sen
quindi posso scrivere x = X cos - Y sen
Troviamo la formula equivalente per la y Osserva la figura a destra: dobbiamo trovare il segmento OK (y) utilizzando le nuove coordinate X e Y 
calcoleremo
OK come somma fra
OD e
DKConsiderando il triangolo ODS per i teoremi sui triangoli rettangoli in trigonometria abbiamo OD = OS cos =
Y cos Ora considero il triangolo PES essendo PE = KD; l'angolo PSE vale
per i teoremi sui triangoli rettangoli in trigonometria abbiamo KD = PE = PS sen =
X sen quindi abbiamo OK = OD + DK = X sen
+
Y cos
quindi posso scrivere y = X sen + Y cos
Poiche' negli esercizi dovremo sostituire le nuove coordinate alle vecchie conviene considerare solamente le formule con prima dell'uguale le vecchie coordinate; non conviene ricavare le formule inverse anche per la complessita' dei calcoli Raccogliendo, le equazioni per la rotazione di coordinate saranno
sapendo che sen  =  2/2
cos = 2/2
avremo
Come esercizio dimostriamo che l'equazione dell'iperbole equilatera x2 - y2 = a2 con una rotazione di 45° si trasforma nell'equazione dell'iperbole equilatera riferita ai propri assi XY = K soluzione |
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